论文标题：Equiaffine Braneworld（？？）

期刊：Galaxies

作者：Fan Zhang

发表时间：21 October 2020

DOI：10.3390/galaxies8040073

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引言

目前，高维理论受到了学者的广泛关注，并且研究的方向都遵循时空的欧几里得超曲面理论等距理论，其嵌入是由周围的母体所诱导的。洛伦兹度规的不确定符号差可能暗示了鲜为人知的等仿射超曲面理论，因为它可能更自然。也就是说除了极少的数学形式之外，仅仅需要少量的自定义即可对宇宙的外拓几何进行描述。通过引入等仿射度规，可以忽略环境的度规并且让时空度规变得符合基本理论的第二基本形式，因此其双曲线形自然会显示出不确定性。同时在此框架内暗能量的几何起源也可以得到解释。

神奇的“膜世界”

随着宇宙学和粒子物理学的快速发展，人们对我们所处时空的研究逐渐深入，弦理论、超弦理论以及M理论也陆续被提出。“膜”宇宙学也随之而来。根据高维理论 (如KK theory)，我们的四维宇宙被镶嵌在一个高维空间的膜内，这种超空间通常被称为“bulk” (时空的其余部分，或有人称之为“体”)。如果说四维以外的高维度是致密的，那么尽管我们所在的宇宙包含额外的维度，但却没有参考系能够与“体”相适。在“体”模型中，至少有部分额外的维度是延展的 (甚至可能是无限的)，那么其他的膜可能会穿过我们所处的“体”。“体”内部或者与其他膜之间的相互作用，会影响该空间的膜，从而产生在标准宇宙学模型中所看不到的效应。此外，人们认为光与能量无法逃离其所在的膜，但是引力可以，引力从我们所处的膜中泄漏出来并进入“体”中。膜世界理论的魅力在于它提供了一个可能的解释，即重力为什么如此微弱，也许其本身并非比其他力弱，但大部分都集中在别的地方或在另一些膜中。

图片来源：pexels

“膜世界”理论的困境

在数学上，人们构建了许多不同的理论来描述嵌入在“体”环境中的超表面的外拓几何。尽管可以使用伪黎曼几何来很好地描述我们时空的内在几何，如果我们假设一个膜世界的情况并因此存在一个物理上的“体”环境，我们仍然可以自由地选择其对应的外拓几何。各种外拓理论的区别主要在于他们为我们提供多少可行的机制。更多的基础结构将促进特化，从而使表达式更简单，方程更容易求解。

我们的大自然倾向于便捷以及广义相对论的本征性是度量理论这一事实，这也许导致了一个普遍假设：即环境也应适配于度规，并且我们的时空等距嵌入其中。具体来说，当环境配备度规时，则可以在参考框架中定义矢量基的角度和范数，从而仅关注正交框架并使用较小的主丛。然而，复杂的是，内在度规具有不确定的洛伦兹符号差。由于正定环境度规不能在膜上遵循洛伦兹定律，因此环境度规也必须是不确定的。除了双曲三角法的普遍反直觉性之外，它们的度量球不致密的事实使其对兼容拓扑的搜索变得相当混乱，这些问题使伪度规使用起来很困难。

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等仿射度规？或可行！

总的来说，至少要谨慎考虑是否存在这种可能，本征洛伦兹度规不是由环境度规所产生的，而是显示出了一些非度量外拓理论中的不同概念。确实存在这样的理论，其中一种理论称为等仿射微分几何，其中一种对称双线性形式 (称为等仿射度规) 放置在嵌入的超曲面上，但实际上与嵌入的第二基本形式 (普通欧几里得空间) 相符。

北京师范大学的张帆教授通过对等仿射度规的研究来阐释膜宇宙学的理论，提出相对论洛伦兹度规可以被理解为等仿射度规。在他的研究中，考虑本地因素，等仿射膜世界情景具有明显的全局宇宙学意义 (例如，当无法找到合适的支撑平面时，很难来限制超曲面)，因此张帆教授考虑了宇宙中某些部分强凸的情况 (即等仿射度规度为正定或负定)。度规符号差的任何平滑变化都将不可避免地导致一个过渡边界的存在，这一过渡边界可通过大爆炸来识别，在该过渡边界上，至少消失了一个IIab的特征值。因此它会发生退简并，等仿射几何的机制崩溃。换句话说，该研究中对于隐式的特定数学基础结构的限制导致了大爆炸出现奇点。这是一个非常理想的情况，因为没有基础障碍可以阻止该模型的改进并可以为宇宙的洛伦兹面施加初始条件。重要的是，该情况下无需审查大爆炸，将其排除在宇宙审查猜想之外。在时空情况下，可以通过匹配在任一面所获得正则元素的限制来处理退简并的边界。

此外，对于普通欧几里得时空，大爆炸将比其他地方更为平坦，因为IIab符合普通欧几里得理论的第二种基本形式，因此，至少有一个欧几里得主曲率在那消失了。而对于等仿射膜宇宙，大爆炸是一个高度扭曲的地方，这意味着它离二次曲面形还差得很远。为了获得表现出这般行为的精确宇宙学解，张帆教授将时空看作一个等周问题的解，并且提出了一些猜测，利用迭代数值方案来查找适当的嵌入函数，然后将其嵌入高斯-科达齐方程，以检查所有事物是否确实有序。集中于嵌入函数的这种方法被用在如施瓦兹度规的嵌入和嵌入引力的非相对论限制等应用中，此方法比试图求解高阶微分方程更方便。

总结

由于洛伦兹度规在现代物理学中起着基础性的作用，张帆教授提出的等仿射度规的应用 (即爱因斯坦方程可以变相视为等仿射高斯方程) 十分值得探索。同时在他的理论下，暗能量可以通过平均曲率项自然地解释。此外，他还推测了膜世界物理图景下的某些潜在的全球宇宙论。

Galaxies (ISSN 2075-4434) 是一个国际型开放获取期刊。期刊主题涵盖天文学、天体物理学、宇宙学、天体生物学以及天体化学等方面，致力于对宇宙中各类天体的探索。Galaxies 采取单盲同行评审，一审周期约为18天，文章从接收到发表仅需4.8天。